◄◄◄

Тук най-напред е наложително припомняне. Предложената дефиниция на дефиницията не решава никакъв генерален проблем около дефинициите. Тя (съблазнявам се, все пак, да мисля така) представлява само опит да се поставят някакви лесно постижими формални рамки за дефиниционен изказ, които, веднъж възприети и съблюдавани, биха могли да направят по-лесно сравнението между множеството възможни и (заедно с това) конкуриращи се дефиниции на едно и също понятие.

Интерпретациите през столетията на въпроса за дефиниционните прояви са засягали понякога и аспекти на тяхната систематизация. Този проблем следва да бъде обект на специален допълнителен интерес. В същото време, мисля, че може да се предложи една генерализираща систематика, разделяща дефинициите на две групи:

1. дефиниции на идеални обекти, и

2. дефиниции на реални обекти.

Предположение & предложение. Не е изключено някой неврофизиолог да посочи, че онова, което наричаме "идеални обекти", са всъщност реални обекти. При цялото ми вътрешно предразположение към подобна постановка, тук и сега няма да засягам този изключително важен и изискващ подобаващо пространно разглеждане въпрос, като единствено бих предложил изразът "реални обекти" да се мисли като "реални обекти извън съзнанието", при което "идеални обекти" може да се третира като "реални обекти в съзнанието".

Дефиниции на идеални срещу дефиниции на реални обекти

Обичайно, като пример на научна област, в която изследваните обекти, са идеални, се сочи математиката. При това, много хора са склонни да приемат безапелационно способността на математиците да конструират дефиниции и считат, че от тяхната практика в тази сфера може да се почерпи сериозен опит. По принцип това е така, най-вече поради култивирания и съхраняван от тях през вековете изключително строг режим на разсъждение.

Все пак обаче, математиката не трябва да се третира като образец на някакъв непоклатим абсолют в това отношение. Така или иначе, обикновено се забравя (или просто не се знае), че:

1. и в математиката се срещат примери на неудачни дефиниции, по правило следвани от драматични опити за отстраняване на верижно допускани грешки, и

2. (което е по-важно) обектите, за които се отнася една математическа дефиниция, всъщност се създават от самата дефиниция; извън нея те изобщо не съществуват – тя им дава всичко онова, което впоследствие някои откриват (!?), че притежават.

Далеч не така стоят нещата, когато се правят опити да се оформят дефиниции на понятия, имащи за свое покритие реални обекти. В такива случаи дефиницията върви след обектите си.

Математическите дефиниции конституират. С тях се законодателства. Другите описват. Но... преди да се започне с едно описание, трябва да е налице неопровержима гаранция, че са известни:

1. обектите, които ще бъдат обобщени с бъдещата дефиниция,

2. всички техни качества, и

3. критериите, по които съществените им качества могат да бъдат отделени от несъществените.

За съжаление, тези три пункта предварително изискуемо знание се оказват на практика нещо не повече от химера. Може би, само по отношение на третата категория знание бихме могли да се уловим за нещо квази-спасително – бихме могли да предложим операция, подобна на споменатото вече “изваждане на общ множител пред скоби”. Ако обектите, които ще се обединяват с дефиниция, се намират, фигуративно казано, вътре в някакви скоби, ако описите на известните им качества се намират, също фигуративно казано, в “личното досие” на всеки обект, то би могла да се проведе някаква акция по сравняването на всеки опис с всеки друг, след което еднаквите им качества да бъдат изведени пред скоби, а в една следваща стъпка да бъдат обявени за съществени. (Въпреки че може да се стори излишно, но нека подчертая – изнесените “пред скоби” качества са само общи, а дали са съществени, това далеч не би било задължително следствие от факта, че са общи. Затова и изрично отбелязах: “да бъдат обявени за съществени”.)

Така или иначе, засега остава като непостижимо изпълнението на първите две изисквания. А оттук се налага един твърде сюрпризиращ извод: че и другите, нематематическите, дефиниции всъщност се явяват в една или друга степен конституиращи – конституиращи нашата идея за обобщено третиране на определено множество обекти. И наистина, след като е повече от очевидно, че аспектите, които следва да формират представата за въпросното нещо, не се познават пълноценно, то твърдението, че “нещо е еди-какво-си”, придобива характера на: “ние не знаем дали нещото е или не е еди-какво-си, но то трябва да е еди-какво-си”.

Тук е добре да забележим и следния факт – ако не приемем предходното твърдение, ще трябва да признаем, че (незабелязано) мислим следното: “ние не знаем дали нещо е еди-какво-си, но знаем, че то е еди-какво-си”.

А това вече е твърде, твърде дискредитиращо.

Нека ми бъде позволено да се обърна отново към Аристотел:

Ясно е, че преди повече от 2300 години са били забелязани две положения:

1. че могат да се предлагат различни дефиниции на едно и също понятие (проблем: “Едно и също ли е понятие, което се дефинира по различен начин; или иде реч за две различни понятия, които само по стечение на някакви не най-умно съгласувани обстоятелства са обозначени с една и съща дума?”), и

2. че различните дефиниции на така нареченото “едно и също понятие” могат да се обединяват в една дефиниция.

След всичко казано дотук не е трудно да се разбере откъде произтича дефиниционното многообразие – един вижда едно, друг вижда друго.

Независимо от всичко, Аристотел проявява оптимизъм – при това, в размислите си относно въпроси, над изясняването на природата на които легиони мислители ще се упражняват усърдно през вековете (например, какво представлява “душата”):

Провокиран коментар. Не изглежда много лесно за възприемане твърдението, че “определението за душата е едно” – каквото (според Аристотел) е определението на някаква геометрична фигура. Разбира се, той не е могъл да знае какво ще напише някой ден Имре Лакатош и какви трудности ще съзре около дефинирането, примерно, на изпъкнал многостен. И ако все пак подобна фигура би се сторила някому сложна, можем (просто за сравнение) да прочетем какво мисли днес математическата част от човечеството относно нещо чувствително по-просто – триъгълника:

Недвусмислено ясно е, че обозначението “АВС” е свързано с предварително договорени положения от рода: “Тези букви показват точките на пречупване на затворената линия”. Не по-малко ясно е обаче, че в същото време това обозначение представлява една не най-смислена конкретизация, която (строго погледнато) превръща всяка “проста затворена начупена линия BCD (CDE, DEF и прочие)” в не-триъгълник. А колко лесно би било в дефиницията да се постави едно “...от рода на АВС”.

По-големият проблем обаче произтича от нещо друго. Въпросното определение сочи недвусмислено, че само понякога “в литературата под триъгълник се разбира начупената линия заедно с вътрешността и”. Ерго, това, което в едни случаи е триъгълник, в други би се оказало не-триъгълник. Между другото, нека си представим какво би станало, ако вътрешността е извън понятието за триъгълник – колко правилно би било да говорим, примерно, за “площ на триъгълника” (може ли една линия, пък била тя и затворена, и начупена, да има площ?), колко правилно би било да говорим за “обиколка на триъгълника” (може ли една линия да има обиколка; тя би имала дължина – но пък как да кажем “дължина на триъгълника”?).

Изненада. Произнасяйки се по въпросите на дефиницията, Спиноза решава да се опре на представата за триъгълник като пример-еталон:

Безпокойство. Подозирам, че Спиноза греши. Той изисква дефиницията да отразява “само простата природа на определяното нещо”. Може би изразът “проста природа” е синонимна форма на “същност” или “същина”. Дали обаче простата природа или същността е нещо, което е недвусмислено ясно и се разбира от всеки на този свят по един и същ начин?

И още – като заявява, че “дефиницията не изразява някакво множество”, Спиноза фактически не се замисля, как следва да се постъпи, ако въпросното “нещо” е някакво множество от сходни (или еднотипни) неща, имащи поне едно общо качество, поради което са и титулувани (именно като множество) с едно име? И още – нима всяка дефиниция не е дефиниция на елементите на някакво множество? Нали дори да решим да дадем дефиниция на Илия Кожухаров или Бенедикт Спиноза ние всъщност ще дадем дефиниция на едно множество от обекти, обвързани един с друг посредством някаква степен на подобие: Илия Кожухаров в момент t₁, Илия Кожухаров в момент t₂, ... Илия Кожухаров в момент t_n (респективно, Бенедикт Спиноза в момент t₁, ... Бенедикт Спиноза в момент t_n). Множеството, образувано от различните Илия-Кожухаровци (или Бенедикт-Спинозовци), е така или иначе множество.

Показателно становище. Като разсъждава за “духа”, Дейвид Хюм посочва, че той:

И така – Спиноза или Хюм? Простота или сложност? (Дори и тогава, когато се дефинира “проста природата” на триъгълника.)

Впрочем, дали Спиноза се е замислял, защо мимолетно споменатата от него геометрична фигура се нарича именно три-ъгъл-ник?

Да се отговори бързо, като се посочи, че това е така, защото тя има три ъгъла, не е голямо достойнство в случая.

Ето защо.

В съвременната математико-енциклопедична литература, обикновено се казва, че ъгълът се определя:

Графиката отляво показва необходимите дефинитивни елементи за ъгъл.

Веднага обаче може да се зададе въпросът: “Всъщност, колко ъгъла са изобразени върху нея?”

Може да се отговори, като се каже един, и се конкретизира, че това е острият ъгъл, който бихме могли да си представим като получен от завъртането на лъча р около точка О в посока, противоположна на часовниковата стрелка до момента, в който би съвпаднал с лъча q. Веднага обаче може да възникне напълно естественият следващ въпрос: “Защо трябва да мислим за получения по този начин остър ъгъл, след като бихме могли да си представим (и) вдлъбнатия ъгъл, който би се получил от завъртането на лъча р около точка О, но по посока на часовниковата стрелка (отново) до момента, в който би съвпаднал с лъча q?”.

Тук веднага би могло да се възрази така: ако се мисли за изобразения ъгъл като за остър, това би подсказало една по-естествена негова принадлежност към всеки триъгълник, защото би се оказал в положението на негов вътрешен ъгъл. Но на свой ред, подобна идея би издала някакво предопределено (но необявено!) виждане, по силата на което “вътрешността на

кривата начупена линия” представлява част от триъгълника, откъдето по необходимост би следвало, че като негови елементи могат да се считат единствено острите, правите и тъпите ъгли – и в никакъв случай вдлъбнатите, доколкото те не могат да бъдат вътрешни. Тъй като обаче няма единно становище относно принадлежността или не-принадлежността към триъгълника на вътрешната площ, то проблемът би се решил, ако някой някога бе назовал тази фигура не просто три-ъгъл-ник, а три-вътрешно-ъгъл-ник (колкото и тромав да е подобен израз). Между другото, с подобно наименование би се парирало и още едно предложение: допълнително да се видят и много други ъгли, които биха се получили от въртенето на лъча р (или лъча q) така, че да се изпълнят един, два и прочие пълни обороти, след което да се осъществи сливане с другия лъч, в резултат на което да се достигне до ъгли, по-големи от 360°, 720° и така нататък. Те (това трябва да се признае) фактически също присъстват върху фигурата.

Дори обаче да допуснем, че някой все пак е успял да наложи името три-вътрешно-ъгъл-ник, то би могло да възникне друго усложнение. Например, можем да си спомним, че измежду всички ъгли съществува един, който е равен на 180° (показан на фигурата вляво). Оттук не е много трудно да си представим как върху всяка една от страните на триъгълника може да се избере произволен брой точки О, след което да се заяви, че три-вътрешно-ъгъл-никът всъщност е безкрайно-много-вътрешно-ъгъл-ник. При това, никакви обструкции от рода на предходните не биха могли да се предявят, защото всички подобни изправени ъгли от 180° могат спокойно да се разглеждат и като вътрешни ъгли на триъгълника.

В такава ситуация (и по примера на диалога “Лакатош и ученици”) се налага да се направи някаква поредна дефиниционна трансформация, която да ограничи частично показаното дефиниционно разнообразие – всъщност, синоним на дефиниционен произвол.

И Платон е имал подобни терзания – например, когато се е опитвал да си изясни очертанията на понятието “софист”, във връзка с което е решил, че първо ще трябва да уточни понятието “въдичар” (!?):

“Чужденецът (към Теетет): Заедно с мене ти трябва да обсъдиш (...) сега най-напред (...) софиста – (...) и да се опиташ да разкриеш в слово какво представлява той. Защото до този момент имаме с тебе като нещо общо за него само името му. Но по въпроса, за какво се употребява то, сигурно всеки от нас си има лично мнение. А за всичко е редно да сме съгласни по-скоро за самото нещо, изразено в думи, отколкото само за името без обяснение на смисъла му. Родът на софиста (...) не е измежду най-лесните за разбиране какво представлява. Всички отдавна са на едно мнение, че преди да се заеме с нещо значително (...), човек трябва да се подготви по-напред върху нещо (...) по-лесно. Та сега, Теетете, аз давам и на нас двамата този съвет (...) – нека да си упражним по напред начина на преследване върху нещо по-лесно. (...) Например въдичарят.

Теетет: Така да е.

Чужденецът: Кажи ми да смятаме ли въдичаря за владеещ някакъв занаят или за човек без занаят, но практикуващ друг вид умение.

Теетет: Ни най-малко не е човек без занаят.

Чужденецът: Да, но горе-долу всички занаяти се делят на два вида. (...) От една страна, земеделието и всякакъв род грижи за смъртно тяло, от друга, занаятите, отнасящи се до съставеното и изкуствено създаденото, което сме нарекли оръдие и посуда, и накрая подражателното изкуство. Всички тези занаяти с пълно право бихме нарекли с едно име (...) творческо изкуство. (...) А след това на свой ред идва видът занаяти, свързани с ученето и узнаването, с печеленето на пари, със състезанието и лова. След като тези занаяти не творят нищо, а овладяват с думи и дела съществуващото и вече възникналото (...) всички представители на този вид да наречем съвкупно изкуство на придобиването. (...) А то не се ли дели на два вида? При единия придобиването става със съгласието на двете страни и чрез размяна посредством дарове, заплащане и купуване, а при другия изцяло чрез овладяване с дела или думи. (...) Ами изкуството на овладяването не би ли трябвало да се раздели на две? (...) Като поставим на една страна всичко открито свързано със състезание, а на друга - всички начини на лов, които стават скрито. (...) Нямаме основание обаче да не разделим и ловния занаят на две. (...) Като отделим на една страна ловенето на неживо, а на друга на живо, (...) а упражнявания лов на живи същества да наречем живоловуване. (...) Но не би ли имал право човек да каже, че на живоловуването видът му е двоен: от една страна на животни по сушата, (...) а от друга на плуващи животни, (...) ловуване във вода. (...)

Ами този вид лов не можем ли да разделим на два основни подвида (...) на такъв, при който животното се улавя с примка, и на друг, при който с нанасяне на удар. (...)

Но от лова (...) с удар, този, който се върши отгоре надолу поради това, че използва харпуни, (...) е получил името “лов с харпуни”. (...) Но остава (...) още един вид. Ловът с противоположен начин на удар. Той става с кука и с раняване не на която и да е част на рибата, както е при харпуна, но винаги в главата и на устата на това, което се лови, и с изтегляне на уловеното в обратната посока отдолу нагоре (...). С какво име ще кажем, че трябва да се нарече този вид лов, Теетете?

Теетет: Мисля, че с това достигнахме до онова, което си поставихме за задача (...) да изследваме. (...)

Защо ли Платон не е решил (както Спиноза), че при дефинирането трябва “само да се посочи простата природа на определяното нещо“, а е проточил една верига от уточнения, сред които дори и такива за посоката на удара на куката в устата на уловената риба? (Тук моля да бъде забелязано, колко много словесни пасажи съм пропуснал на местата с многоточията в скоби. А на тяхно място стоят още уточнения в оригиналния Платонов текст.)

Ако все пак се върнем към нашия проблем с триъгълника, то очевидно се явява наложително да отстраним всяка възможност сред описващите го характеристики да се включват и безкрайното количество изправени ъгли, с които е надарена всяка мислима подобна фигура. Това може да бъде сторено, ако, например, се обяви, че значение за триъгълника имат само ъглите, които се намират от вътрешната страна при върховете му. Тогава (според възприетата вече насока) името на триъгълника би трябвало да се трансформира в нещо от рода на три-вътрешно-при-върхово-ъгъл-ник.

На това място обаче може да се зададе простичкият въпрос: “А защо трябва да се преформатира по толкова витиевато-описателен начин името на една елементарна (елементарна ли?) геометрична фигура, когато тя просто може да се преименува като се назове тривръхник? Или, ако някой не е удовлетворен от това – тристранник?”

На минутата обаче, подобно предложение трябва да се окачестви като възможно най-умилително наивната и илюзорна идея, която може да хрумне на някого, доколкото не е отчетен един от най-могъщите фактори, доминиращи в човешките общества – персоналната и социалната инертност. И още – склонността да се мисли, че нещата, които са “дребни”, не би трябвало да се превръщат в “casus belli”. От друга страна, следва ли да продължаваме да третираме като дребно нещо онова, което се тиражира в изключително големи количества? Тук, разбира се, трябва да се постави и друг въпрос: “Ако името на понятието, което ще бъде подлагано на дефиниция, е грешно, има ли изобщо основание да се пристъпва към дефинирането му?” Изглежда безсмислено. Защо обаче хората го правят?

Финален въпрос – в противоположна посока. (Той ще ни върне към едно отдавна поставено питане.) Защо все пак, когато дори само се спомене думата триъгълник, по правило се възбужда представата било за някакъв остроъгълен, било за правоъгълен, било за тъпоъгълен триъгълник, при което изобщо не възниква никаква дискусия относно броя на ъглите в триъгълника? Дали това не е така, защото още от най-ранните ни ученически години, когато започваме да изучаваме геометрия, всеки един преподавател обичайно постъпва по следния начин: начертава няколко различни фигури, след което с ръка, която ги посочва, и глас, който ги именува именно като триъгълници, вкарва в дълбоката ни памет неунищожимата представа, че всяка повече или по-малко подобна фигура представлява триъгълник. По такъв начин, с една изключително елементарна процедура, по време, когато сме достатъчно малки (и поради това не питаме и не протестираме), ни зареждат с достатъчно сигурна ориентация за триъгълниците сред множеството на останали геометрични фигури.

Ако коментирам тази хипотеза, правя това, за да запитам: “Дали посочването, изброяването и именуването не са действително онзи скромен, но в същото време неподозирано устойчиво работещ реквизит при всяка една дефиниция?”

Лесно е да се каже: “Да”. Нещо повече – подозрително лесно е да се каже: “Да”. Едно друго мнение обаче нашепва: “Не”. И прави това настойчиво. От хилядолетия.

Размитости в дефиниционната систематика

По-горе посочих, че най-общо могат да се предложат две групи дефиниции: на идеални и на реални обекти. Добавих и това, че в първия случай дефинициите пораждат обектите, а във втория – следват обектите. Направените впоследствие разсъждения относно някои математически дефиниции сякаш опровергават това строго разделение. Защо се получава така?

Видимо, определени дефиниции на идеални обекти се явяват фактически априорно замърсени с твърде много конкретика от света на реалните явления. Неминуемо, тя се просмуква по такъв начин в дефиниционните текстове, че понякога остава незабелязана на протежение на дълги периоди от време. Можем да си представим, как онези математици, които са изпробвали първите дефиниции на ъгъл, триъгълник или многостен, са държали достатъчно ярко в съзнанието си образите на конкретни нарисувани ъгли, триъгълници или многостени и докато са извличали общото характерно за всяка една група от тях са постъпвали така, както и всеки, който би се заел със задачата да оформи дефиниция на която и да било група обекти или явления от реалния свят. Вероятно така са се образували и множеството зони на дефиниционни размитости между обектите от света на идеите и тези от света на реалиите, при което единствено настойчивата работа по тяхното педантично диференциране е довеждала последните версии на първата категория до състояние, повече или по-малко близко до дефиниционния епицентър на (иначе) идеалните обекти.

Дефиниционна аксиоматика

Изглежда разумно в сферата на дефиниционната проблематика да се изхожда от следващите надолу положения. Оформени в първо лице единствено число, тези изречения би трябвало да подпомогнат формирането на усещане за успешен резултат от някакви разкопки в архаичните пластове на всяко едно съзнание, носещи вероятни следи от онези времена, когато се е раждала човешката мисловност изобщо:

1. “Аз различавам неща” (при съпътстваща декларация за отказ от дефиниция на понятията за: “Аз”, “различавам” и “неща”).

2. “Аз мога да наричам с име(на) различаваните неща” (при отказ от дефиниция на понятията за: “мога (да)”, “наричам (с)” и “име(на)”).

3. “Аз наричам с името ‘признак’ нещо, по което различавам неща(та).”

4. “Аз мога да обединявам част от различаваните по признак неща” (при отказ от дефиниция на понятията за: “обединявам” и “част (от)”).

5. “Аз наричам с името ‘множество’ неща, обединени по признак.”

6. “Аз наричам с името ‘под-множество’ неща, които са част от множество и са обединени по признак, различаван от признака на множеството.”

7. “Аз мога да наричам с име(на) различаваните множества и под-множества.”

8. “Аз наричам с името ‘твърдение’ неща, обединени по признака ‘Аз’.”

9. “Аз наричам с името ‘дефиниция’ твърдение, с което обединявам под-множество.”

Кратък коментар.

Първо. Изречения №№ 1, 2, 4 и 7 могат да бъдат третирани като аксиоматични, а №№ 3, 5, 6, 8 и 9 – като дефиниции.

Второ. Именуването на някакво множество (или под-множество) означава, че в очертанията на неговото име и съответно предложена дефиниция елементите му се третират като еднакви, независимо че извън посочените обстоятелства те не са (и не могат да бъдат) еднакви. (Самият факт, че ги различаваме като отделни елементи е най-силното доказателство за тяхната не-еднаквост.) В този смисъл (а и като едно напомняне за Гунсун Лун), “белият кон” е “кон” в множеството на “конете” толкова, колкото и “рижият кон”, и “черният кон”, и всеки кон изобщо; а в множеството на “белите коне” всеки “бял кон” е неразличимо еднакъв с всеки друг “бял кон” – поне докато не решим да създадем, примерно, множества на “чисто белите коне” и на “не-чисто белите коне”.

Трето. Доколкото за всяко под-множество се изисква наличието на признак, “различаван от признака на множеството”, от което то се явява част, то това дава на свой ред възможност всяко под-множество да изпълнява ролята на множество, ако се открие съответен признак, по който в него да се формира ново под-множество.

Четвърто. Изглежда нормално дефиниционното множество P и дефиниционното под-множество S да изпълняват изискването: S-множествата да са винаги по-малки от Р-множествата. В противен случай, при S равно на Р, би се оформила дефинитивната структура на синонимията. А ако S е по-голямо от Р, то дефиницията ще е “обърната” – дефиниендумът и дефиниенсът ще са с разменени места, при което на практика Р ще се дефинира чрез S (ерго, Р няма да бъде “primary”, нито S – “secondary”).

Ако някой е прочел всички изречения дотук, той може да е забелязал, че сред тях има много, които са буквално потопени в скептицизъм. Позволявам си да се надявам да е било доловено, че това не е някакъв битов скептицизъм. При положение, че трябва да направя искрено признание, то бих казал, че достатъчно силно симпатизирам на онова научно умонастроение, което още от антични времена е възприело за себе си титула “Философия на скептицизма”. По традиция то предизвиква стъписване. (И това е опит за деликатно обозначение.)

Мнение на Дейвид Хюм по въпроса:

Ако трябва все пак да кажа нещо, което да звучи малко повече в духа на традиционните заключения, то бих си позволил следното:

А ето я и молбата. Тя е напълно искрена. При това, ако Витгенщайн е бил прав, то срещу това кратко последно изречение в реалността стои действително една молба и една искреност като неин атрибут.

Приемам, че сред многото изказани дотук мисли може да съм допуснал грешки. Те може да са много. Може и да не са много. Ако ги знаех, щях да ги премахна. Или поне щях да се опитам да сторя това. Нещо повече, при никакви обстоятелства не бих написал и едно от онези изречения, които засега ми изглеждат като задоволителни отговори на въпроси, появили се отдавна пред съзнанието ми. Опитвайки се да намалявам въпросите, разговарях с много хора. Повечето покойници. Затова и разговорите бяха странни. Аз ги чувах, но те не ме чуваха. Или поне не ми показваха по никакъв начин, че са ме чували. И като така – не можех да разбера: дали някъде са съзрели или не грешки в помисленото и написаното от мен.

Затова остават живите. Тях искам да помоля: “Ако някой е забелязал грешки, нека има добрината да ми ги посочи.”